VARIABEL ACAK DAN NILAI HARAPAN
VARIABEL ACAK
Untuk
menggambarkan hasil-hasil percobaan sebagai nilai-nilai numerik secara
sederhana, kita menggunakan apa yang disebut sebagai variabel acak. Jadi
variabel acak dapat didefinisikan sebagai deskripsi numerik dari hasil
percobaan.
Variabel
acak biasanya menghubungkan nilai-nilai numerik dengan setiap kemungkinan hasil
percobaan. Karena nilai-nilai numerik tersebut dapat bersifat diskrit(hasil
perhitungan) dan bersifat kontinu(hasil pengukuran) maka variabel acak dapat
dikelompokkan menjadi variabel acak diskrit dan variabel acak kontinu.
Variabel Acak Diskrit
Varibel
acak diskrit adalah variabel acak yang tidak mengambil seluruh nilai yang ada
dalam sebuah interval atau variabel yang hanya memiliki nilai tertentu.
Nilainya merupakan bilangan bulat dan asli, tidak berbentuk pecahan. Variabel
acak diskrit jika digambarkan pada sebuah garis interval, akan berupa sederetan
titik-titik yang terpisah.
Contoh
:
- Banyaknya pemunculan sisi muka atau angka dalam pelemparan sebuah koin (uang logam).
- Jumlah anak dalam sebuah keluarga.
Varibel
acak kontinu adalah variabel acak yang mengambil seluruh nilai yang ada dalam
sebuah interval atau variabel yang dapat memiliki nilai-nilai pada suatu
interval tertentu. Nilainya dapat merupakan bilangan bulat maupun pecahan.
Varibel acak kontinu jika digambarkan pada sebuah garis interval, akan berupa
sederetan titik yang bersambung membantuk suatu garis lurus.
Contoh
:
- Usia penduduk suatu daerah.
- Panjang beberpa helai kain.
DISTRIBUSI PROBABILITAS VARIABEL ACAK DISKRIT
Distribusi
probabilitas variabel acak menggambarkan bagaimana suatu probabilitas
didistribusikan terhadap nilai-nilai dari variabel acak tersebut. Untuk
variabel diskrit X, distribusi probabilitas didefinisikan dengan fungsi
probabilitas dan dinotasikan sebagai p(x).
Fungsi probabilitas p(x) menyatakan probabilitas untuk
setiap nilai variabel acak X.
Contoh
:
Jumlah mobil terjual dalam sehari
menurut jumlah hari selama 300 hari
Jumlah mobil terjual dalam sehari
|
Jumlah hari
|
0
1
2
3
4
5
|
54
117
72
42
12
3
|
Total
|
300
|
Distribusi Probabilitas Jumlah
Mobil Terjual dalam Sehari
X
|
p(x)
|
0
1
2
3
4
5
|
0,18
0,39
0,24
0,14
0,04
0,01
|
Total
|
1,00
|
Dalam
membuat suatu fungsi probabilitas untuk variabel acak diskrit, kondisi berikut
harus dipenuhi.
1.
p(x)
³ 0 atau 0 £ p(x) £ 1
2.
S
p(x) = 1
Kita juga bisa menyajika distribusi probabilitas dengan
menggunakan grafik.
Fungsi Probabilitas Kumulatif Variabel Acak diskrit
Fungsi
probabilitas kumulatif digunakan untuk menyatakan jumlah dari seluruh nilai
fungsi probabilitas yang lebih kecil atau sama dengan suatu nilai yang
ditetapkan.
Secara
matematis, fungsi probabilitas kumulatif dinyatakan sebagai berikut.
F(x)
= P(X £ x) = X £ p(x)
Dimana
F(x)
= P(X £ x)
menyatakan fungsi probabilitas kumulatif pada titik X = x yang merupakan jumlah
dari seluruh nilai fungsi probabilitas untuk nilai X sama atau kurang dari x.
Contoh
:
Probabilitas Kumulatif dari
jumlah mobil terjual dalam sehari
X
|
F(x)
|
0
1
2
3
4
5
|
0,18
0,57 (=
0,18 + 0,39)
0,81 (=
0,18 + 0,39 + 0,24)
0,95 (=
0,18 + 0,39 + 0,24 + 0,14)
0,99 (=
0,18 + 0,39 + 0,24 + 0,14 + 0,04)
1,00 (=
0,18 + 0,39 + 0,24 + 0,14 + 0,04 + 0,01)
|
Kita
bisa menyajikan fungsi probabilitas kumulatif dalam bentuk grafik
DISTRIBUSI PROBABILITAS
VARIABEL ACAK KONTINU
Distribusi
probabilitas variabel acak kontinu dinyatakan dengan fungsi f(x) dan sring
disebut sebagai fungsi kepadatan atau fungsi kepadatan probabilitas dan bukan
fungsi probabilitas. Nilai f(x) bisa lebih besar dari 1.
Fungsi
kepadatan probabilitas harus memenuhi syarat sebagai berikut.
1.
f(x)
≥ 0
2.
(integral seluruh
fungsi kepadatan probabilitas f(x) = 1)
3.
P(a
< X < b) =
Catatan
: f(x) dx = P{x ≤ X ≤ (x + dx)}, yaitu probabilitas bahwa nilai X terletak pada
interval x dan x + dx.
Fungsi Probabilitas
Kumulatif Variabel Acak Kontinu
Kalau
pada variabel acak diskrit, fungsi probabilitas kumulatif dihitung dengan cara
penjumlahan maka pada variabel acak kontinu, probabilitas kumulatif dicari
dengan integral.
Rumusnya
adalah sebagai berikut.
F(x)
= P(X ≤ x) =
Nilai-nilai
dalam rumus ini harus kontinu atau dalam suatu interval.
FUNGSI PROBABILITAS
BERSAMA
Bila
X dan Y adalah dua variabel acak diskrit, distribusi probabilitas bersamanya
dapat dinyatakan sabagai sebuah fungsi f(x,y) bagi sembarang nilai (x,y) yang
dapat diambil oleh peubah acak X dan Y. Sehingga dalam rumus variabel acak
diskrit.
f(x,y) = p(X = x, Y = y)
Dimana
nilai f(x,y) menyatakan peluang bahwa x dan y terjadi secara bersamaan.
Sedangkan
distribusi probabilitas kumulatif bersama X dan Y terdiri dari nilai (x,y) dan
f(x,y) untuk semua (X,Y)
Kalau
dua variabel X, Y dan P(P = x, Y = y) = p(x,y) merupakan suatu fungsi yang
memenuhi syarat berikut :
1.
p(x,y) ≥ o, untuk seluruh nilai X dan Y
2.
(penjumlahan untuk
seluruh nilai X dan Y)
maka
p(x,y) disebut fungsi probabilitas bersama X dan Y.
Fungsi
p(x) dan q(y) yang diperoleh langsung dari p(x,y) disebut fungsi marjinal.
Fungsi
marjinal p(x) dan q(y) dapat dilihat dalam tabel, pada beris dan kolom yang
paling akhir (pada tepi tabel, marjin = tepi/pinggir).
NILAI HARAPAN DAN
VARIANS DARI VARIABEL ACAK DISKRIT
Rata-rata
(m) dari distribusi probabilitas adalah
nilai harapan dari variabel acaknya.
Nilai
harapan variabel acak diskrit adalah rata-rata tertimbang terhadap seluruh
kemungkinan hasil dimana penimbangnya adalah nilai probabilitas yang
dihubungkan dengan setiap hasil.
Nilai
harapan diperoleh dengan menyatakan setiap kemungkinan hasil x dengan
probabilitasnya P(X) dan kemudian menjumlahkan hasil perkalian tersebut.
Nilai
harapan dari variabel acak diskrit X yang dinotasikan dengan E(X) dirumuskan
sebagai berikut.
= x1 p(x1) + x2 p(x2) + ….+ xN
p(xN)
dimana.
xi = nilai ke-I dari variabel acak X
p(xi)
= probabilitas terjadinya xi
Selain
rata-rata, ukuran statistic yang lain adalah varians dan standar deviasi.
Varians
(s2) dari variabel acak diskrit didefinisikan sebagai
berikut.
Varians
dari variabel acak diskrit adalah rata-rata tertimbang dari kuadrat selisih
antara kemungkinan hasil dan rata-ratanya dimana penimbangnya adalah
probabilitas dari masing-masing hasil tersebut.
Varians diperoleh
dengan mengalikan setiap
kemungkinan kuadrat selisih (xi - m)2 dengan probabilitasnya
p(xi) dan kemudian menjumlahkan seluruh hasil perkalian tersebut.
Sehingga varians dinyatakan sebagai berikut dimana:
xi = nilai ke-I dari
variable acak X
p(xi) = probabilitas
terjadinya xi
Standar
deviasi s
diperoleh dengan menarik akar dari s2.
Nilai Harapan dari
Fungsi Probabilitas Bersama
Jika
fungsi probabilitas bersama dinotasikan dengan p(x, y) untuk variabel acak X
dan Y, maka nilai harapan dari variabel acak h(x, y) yang merupakan fungsi dari
X dan Y adalah sebagai berikut.
E[h(x, y)] = SSh9x, y) p(x, y)
Dimana.
h(x, y) adalah sembarang fungsi
dari X dan Y
p(x, y) adalah probabilitas
terjadinya X dan Y secara bersama-sama.
Kalau
h(x, y) = xy, maka
E[h(x, y)] = E(XY) = SSxy p(x, y)
Kalau
h(x, y) = x + y, maka
E[h(x, y)] = e(X + Y) = SS(x + y) p(x, y)
Aturan-aturan dalam
Menghitung Nilai Harapan.
1.
E(k)
= k, k = bilangan konstan.
2.
Varians
(k) = 0 dan varians (X) = s2
3.
E(kX)
= k E(X)
4.
Varians
(kX) = k2s2
5.
E(X
± Y) = E(X) ± E(Y)
E(S Xi) = SE(Xi) i = 1, 2, …, n
E(Ski Xi) = S ki E(Xi) i = 1, 2, …, n
KOVARIANS
DAN APLIKASINYA DALAM KEUANGAN
Pada sub bab ini, kita pelajari konsep
kovarians antara dua variabel dan kegunaannya dalam manajemen portfolio dan
keungan.
Kovarians
Kovarians
adalah suatu pengukur yang menyatakan variasi bersama dari dua variable acak.
Kovarians antara dua variabel acak diskrit X dan Y dinotasikan dengan sxy dan didefinisikan sebagai berikut dimana
Xi = nilai variable acak
X ke-i
Yi = nilai variable acak Y ke-i
P(xi, yi) =
probabilitas terjadinya xi dan yi
i = 1, 2, …, N
Nilai Harapan dari
Penjumlahan Dua Variabel
Nilai
harapan dari penjumlahan dua variable acak adalah sama dengan penjumlahan dari
nilai harapan masing-masing variabel acak.
E(X + Y) = E(X) + E(Y)
Varians dari Penjumlahan
Dua Variabel
Varians
dari penjumlahan dua variabel acak adalah sama dengan jumlah varians dari
masing-masing variabel ditambah dua kali kovarians.
Standar Deviasi dari
Penjumlahan dua Variabel
Portfolio Expected
Return dan Fortfolio Risk
Setelah
kita definisikan kovarians, expected return, dan standar deviasi dari penjumlahan
dua variabel acak, kita dapat menerapkan konsep-konsep tersebut pada studi
mengenai sekelompok asset yang merujuk pada apa yang disebut sebagai portfolio.
Dengan menanamkan investasi yang disebarkan pada tidak hanya satu perusahaan,
investor mengkombinasikan pengembalian dan meminimumkan resiko. Dalam studi
portfolio, kita menggunakan penimbang untuk setiap jenis investasi dengan
proporsi asset pada investasi tersebut. Hal ini memungkinkan kita untuk
menghitung portfolio expected return dan portfolio risk.
Portfolio
expected return untuk investasi dua asset sama dengan penimbang bagi asset X
dikalikan dengan expected return dari asset X ditambah dengan penimbang bagi
asset Y dikalikan dengan expected return asset Y.
E(P) = wE(X) + (1 - w) E(Y)
Dimana.
E(P) = portfolio expected return
w
=
proporsi nilai portfolio dari asset X
(1 - w) = proporsi nilai portfolio dari
asset Y
E(X) = expected return asset X
E(Y) = expected return asset Y
Materi PPT dapat di download di PPT1
dan PPT2
Tidak ada komentar:
Posting Komentar