PERMUTASI & KOMBINASI

A. PERMUTASI

Permutasi adalah menggabungkan beberapa objek dari suatu grup dengan memperhatikan urutan. Di dalam permutasi, urutan diperhatikan.
{1,2,3} tidak sama dengan {2,3,1} dan {3,1,2}


Permutasi Pengulangan

Jika urutan diperhatikan dan suatu objek dapat dipilih lebih dari sekali maka jumlah permutasinya adalah:
"n^r", di mana n adalah banyaknya objek yang dapat dipilih dan r adalah jumlah yang harus dipilih.

Permutasi Tanpa Pengulangan
 

Jika urutan diperhatikan dan setiap objek yang tersedia hanya bisa dipilih atau dipakai sekali maka jumlah permutasi yang ada adalah: "n!/(n-r)!", di mana n adalah jumlah objek yang dapat kamu pilih, r adalah jumlah yang harus dipilih dan ! adalah simbol faktorial.

B. KOMBINASI
 

Kombinasi adalah menggabungkan beberapa objek dari suatu grup tanpa memperhatikan urutan. Di dalam kombinasi, urutan tidak diperhatikan. {1,2,3} adalah sama dengan {2,3,1} dan {3,1,2}.

Kombinasi Tanpa Pengulangan
 

Ketika urutan tidak diperhatikan akan tetapi setiap objek yang ada hanya bisa dipilih sekali maka jumlah kombinasi yang ada adalah:

Di mana n adalah jumlah objek yang bisa dipilih dan r adalah jumlah yang harus dipilih.

Kombinasi Pengulangan

Jika urutan tidak diperhatikan dan objek bisa dipilih lebih dari sekali, maka jumlah kombinasi yang ada adalah:

Di mana n adalah jumlah objek yang bisa dipilih dan r adalah jumlah yang harus dipilih.

Salah satu aplikasi Kombinasi dan Permutasi adalah digunakan untuk mencari probabilitas suatu kejadian.

CONTOH SOAL !!

1. Berapa banyaknya permutasi dari cara duduk yang dapat terjadi jika 8 orang disediakan 4 kursi, sedangkan salah seorang dari padanya selalu duduk dikursi tertentu.

Jawab:

Jika salah seorang selalu duduk dikursi tertentu maka tinggal 7 orang dengan 3 kursi kosong.
Maka banyaknya cara duduk ada :
7P3 = 7!/(7-3)! = 7!/4! = 7.6.5 = 210 cara

2. Ada berapa cara 7 orang yang duduk mengelilingi meja dapat menempati ketujuh tempat duduk dengan urutan yang berlainan?

Jawab:

Banyaknya cara duduk ada (7 – 1) ! = 6 ! -> 6 . 5 . 4. 3 . 2 . 1 = 720 cara.

3. Tentukan banyaknya permutasi siklus dari 3 unsur yaitu A, B, C

Jawab:

 

Jika A sebagai urutan I : ABC

Jika B sebagai urutan I : BCA

Jika C sebagai urutan III : CAB

Jika banyak unsur n=4 –> A, B, C, D

 

 

Jadi banyaknya permutasi siklis dari 4 unsur ( A B C D) adalah 4!/4 = 4.3.2.1/4 = 6

4. Berikan contoh perkalian antara 2 cycle yang akan menghasilkan cycle lagi pada S6

Jawab:

Ambil A=(1 6 5 4) dan B=(1 4 2 3)
Bisa dituliskan sebagai berikut :

 

AB merupakan cycle, AB= (1 6 5 2 3)
Caranya, ambil sebarang cycle pada S6 misal (a b c d) dan untuk mengambil cycle yang kedua, ambil dua angka pada cycle pertama yaitu angka pertama dan terakhir, angka pertama diletakkan tetap dan angka yang terakhir diletakkan kedua sehingga bisa kita ambil (a d e f), jadi jika cycle pertama dikalikan cycle kedua akan menghasilkan cycle lagi.

5. Periksalah apakah (1,3)(4,5,6) termasuk permutasi genap atau ganjil

Jawab:

(1,3)(4,5,6) adalah perkalian (1,3)(4,5)(4,6) merupakan perkalian sejumlah ganjil transposisi yaitu sebanyak 3 perkalian transposisi sehingga termasuk permutasi ganjil.

 

6. Dari 20 orang finalis festival menyanyi yang diselenggarakan oleh satu radio akan dipilih tiga orang juara yakni I, II, III. Banyak komposisi juara yang dapat terjadi adalah....

7. Tentukan banyak permutasi 2 unsur dari huruf A, B, C, dan D!

Jawab:

 

  

Jadi banyk permutasi adalah 12

8. Tentukan banyak permutasi dari huruf-huruf yang terdapat dalam kata OSIS!

Jawab:
O = 1
S = 2
I = 1

Jadi banyak permutasinya sebanyak 12

9. Tentukan banyak permutasi siklis dari A, B, C, D

Jawab:
n = 4

Jadi banyak permutasi siklisnya adalah 6

10. Berapa banyaknya jabatan 1 0 orang  dengan syarat 1 orang 1 kali.

Jawab:
10 C 8 = 45 kali

11. Dalam sebuah kantong terdapat 6 bola merah dan 5 putih.Tentukan banyak cara untuk mengambil 4 bola dari kantong tersebut sehingga Keempat bola tersebut terdiri dari 2 merah dan 2 putih.

Jawab :
Untuk mengambil 2 dari 6 bola merah maka kita dapat tulis 6C2 cara, untuk mengambil 2 dari 5 bola putih maka dapat kita tulis 5C2 cara. Banyak cara untuk mengambil 4 bola terdiri 2 merah 2 putih adalah: 6C2 . 5C2 = 150 cara.

12. Dalam suatu panitia studi tour terdiri 4 orang yakni andi, bambang, cicik, dan dadang, dipilih 3 orang untuk melakukan survey lapangan . ada beberapa macam susunan yang dapat dipilih?

Jawab:
Dari permasalahanya ini susunan yang terdiri dari andi, bambang, cicik dianggap sama dengan susunan Bambang, Cicik, Andi sama dengan Cicik, Andi, Bambang sama dengan Andi, Cicik, Bambang.
Urutannya pada susunan ini tidak diperhatikan karena yang diperhatikan adaah orang yang terpilih, tidak urutannya. Susunan semacam ini disebut kombinasi.

Kemballi paada contoh emilihan 3 orang dari 4 orang , maka kombinasi yang diperoleh adalah

1.      Andi-bambang-cicik
2.      Andi-bambang-dadang
3.      Andi-cicik-dadang
4.      Bambang-cicik-dadang

Jadi ada 4 kombinasi

13. Diar mempunyai 5 pensil warna dengan warna yang berbeda yaitu; merah, kuning, hijau, biru dan ungu. Diar ingin membawanya ke sekolah. Tapi Diar hanya boleh membawa dua pensil warna. Ada berapa banyak cara untuk mengkombinasikan pensil warna yang ada?

Jawab:
Dengan menggunakan rumus

 

 

 

maka ada 5!/(5-2)!(2)! = 10 kombinasi.

14. Maala pergi ke sebuah toko donat. Toko donut itu menyediakan 10 jenis donat berbeda. Maala ingin membeli tiga donat. Tentukan kombinasi yang dapat dihasilkan !

Jawab:

Maka kombinasi yang dihasilkan adalah (10+3-1)!/3!(10-1)! = 220 kombinasi.

15. Seorang anak hanya diperbolehkan mengambil dua buah amplop dari tiga buah amplop yang disediakan yaitu amplop A, amplop B dan amplop C. Tentukan ada berapa banyak kombinasi untuk mengambil dua buah amplop dari tiga buah amplop yang disediakan?

Jawab:
Ada 3 kombinasi yaitu; A-B, A-C dan B-C.

16. Dari 12 orang yang terdiri dari 8 pria dan 4 perempuan akan dibentuk kelompok kerja  yang beranggotakan 4 orang. Jika dalam kelompok kerja ini terdapat paling sedikit 2 pria, maka ada berapa cara untuk membentuk kelompok kerja tersebut ?

Jawab:

17. Saya memiliki 5 buku kimia, 4 buku matematika, dan 2 buku fisika yang masing-masing buku berbeda satu sama lain. Buku-buku tersebut akan saya susun dalam sebuah rak buku, sehingga buku kimia bersama-sama, buku matematika bersama-sama, dan buku fisika bersama-sama. Berapa banyak cara penyusunan yang mungkin saya lakukan?

Jawab:

Buku kimia dapat diatur di antara 5 buku kimia dengan 5! cara, buku matematika dalam 4! cara, dan buku fisika dalam 2! cara, serta tiga kelompok buku tersebut juga dapat diatur dalam 3! cara.

Jadi, banyak penyusunan yang dapat saya lakukan adalah:

    5! . 3! . 2! . 3!
    = 120 . 6 . 2 . 6
    = 8.640 cara

18.   ada berapa  cara pelat mobil dapat dibuat, jika setiap pelat memuat 3 huruf yang berbeda serta 4 angka yang berbeda dengan angka pertama tidak boleh 0.

Jawab:

26 . 25 . 24.  9. 9. 8. 7 =  70761600

19. Adam pergi bertamasya dari kota A menuju kota C melalui kota B. ada 4 jalur bis antara kota A dan kota B dan 5 jalur bis antara kota B menuju C. Berapa cara Adam dapat mengadakan perjalanan pulang pergi dari kota A ke C dengan syarat  tidak boleh melalui jalur yang sama.

Jawab:

4.5. 3. 4 = 240

20. Sebuah kelompok dari 2005 anggota, setiap anggota mempuyai satu rahasia. Setiap anggota dapat mengirim surat pada anggota lain maupun untuk menyampaikan satu rahasia yang dipegang.

Banyaknya surat yang perlu dikirim agar semua anggota kelompok mengetahui seluruh rahasia adalah.

Jawab:

2004. 2005= 4018020

MATERI PERMUTASI & KOMBINASI dapat juga dilihat di PERMUTASI & KOMBINASI BLOGGER