PENGUJIAN HIPOTESIS (3)

Makalah Uji Hipotesis Statistika

BAB I

PENDAHULUAN

                Ketika kita menggunakan statistika untuk menguji hipotesis maka muncullah dua macam hipotesis berupa hipotesis penelitian dan hipotesis statistika. Tepatnya hipotesis penelitian kita rumuskan kembali menjadi hipotesis statistika yang sepadan. Hipotesis statistika harus mencerminkan dengan baik maksud dari hipotesis penelitian yang akan diuji.

Dalam memebuat keputusan mengenai populasi atas informasi dari sampel, dibutuhkan asumsi-asumsi  mengenai populasi yang bersangkutan, yang disebut sebagai Hipotesa Statistik yang umumnya merupakan pernyataan mengenai sebaran peluang dari populasi. Hipotesa statistik dirumuskan dengan tujuan untuk menolaknya.

Hipotesis yang bersifat statistik sebenarnya dapat diartikan sebagai suatu asumsi mengenai parameter fungsi frekuensi variable random. Berdasarkan penaksiran, lalu kesimpulan dibuat bagaimana atau berapa besar harga parameter tersebut.

BAB II

PEMBAHASAN

2.1. Pengertian  Pengujian Hipotesis

Hipotesis adalah pernyataan tentang sesuatu yang perlu dibuktikan atau diuji kebenarannya (Kuswadi, 2004). Asumsi atau dugaan mengenai sesuatu hal yang dibuat untuk menjelaskan hal itu yang sering dituntut untuk melakukan penegcekkannya. Jika asumsi atau dugaan itu dikhususkan mengenai populasi, maka hipotesis tersebut merupakan  hipotesis statistik. Setiap hipotesis bisa benar atau tidakbenar dan karenanya perlu diadakan penelitian sebelum hipotesis itu diterima atau ditolak. Langkah atau prosedur untuk menentukan apakah hipotesis tersebut diterima atau ditolak disebut dengan pengujian hipotesis. Telah kita ketahui bahwa suatu penduga pada umumnya tidaklah harus sama dengan nilai parameter yang sebenarnya.

Misalnya, distribusi probabilita yang merupakan model bagi distribusi X,  katakanlah hasil penstensilan kertas koran dalam n percobaan penstensilan demikian dinyatakan sebagai :

F(x) = (_NC_x) p^x (1-p)^n-x

Jika p = ¼ dan n= 500, maka

F(x) =	500!	(1/4)x(3/4)500-x
	X!(500-x)

Parameter p diatas merupakan probabilita kerusakan pada setiap penstensilan sedemikian itu dan dapat merupakan suatu asumsi yang memiliki karakteristik hipotesis statistik karena p = ¼ merupakan parameter fungsi frekuensi vareiable random p.

Andaikan kita meragukan  hipotesis diatas, maka kita dapat mengujinya secara statistik pula jika sekali lagi jika datanya dapat dukumpulkan dan dianalisa dalam cara yang memenuhi ketentuan asas-asas statistik. Pengujian hipotesis diatas dianggap sebagai suatu prosedur guna menentukan apakah hipotesis diatas sebaiknya diterima atau ditolak andaikan keraguan kita mengenai p = ¼ di atas disebabkan oleh adanya kemungkinan p = ½ meskipun kita yakin bahwa kemungkinan p = ¼ lebih besar dari pada p =  ½ . maka, hipotesis yang akan kita uji dapat dinyatakan sebagai berikut. H₀ : p = ¼ dan H₁ : p ≠¼

H₀ merupakan hipotesis nol dan merupakan hipotesis yang akan diuji danyang nantinya akan diterima atau ditolak tergantung pada hasil eksperimen atau pemilihan sampelnya. H₁ merupakan hipotesis alternatif atau hipotesis tandingan. Pengujian diatas membutuhkan observasi atau hasil pemilihan sampel yang bersifat random tentang frekuensi kerusakan X/n hasil penstensilan itu sendiri. Observasi pemilihan sampel sedemikian itu dapat dilakukan secara berulang-ulang kali atau sekali saja.atas dasar nilai statistik sampel, keputusan diambil untuk menentukan apakah H₀ tersebut sebaiknya diterima atau ditolak. Jika H₀ diterima, maka sama artinya dengan H₁ ditolak dan sebaliknya jika H₀ ditolak maka H₁ diterima.

Dalam melakukan pengujian hipotesis, ada dua macam kekeliruan yang dapat terjadi, dikenal dengan nama-nama :

  a)     Kekeliruan tipe I : adalah kekeliruan karena menolak hipotesis (H₀) padahal hipotesis tersebut                     benar. Kekeliruan ini disebut kekeliruan α.. 

b)   Kekeliruan tipe II : adalah kekeliruan menerima hipotesis (H₀) padahal hipotesis tersebut salah. Kekeliruan ini disebut β  .

Uji hipotesis atau peraturan pengambilan keputusan dilakukan dengan baik agar kesalahan pengambilan keputusan dapat diminimalisir. Cara untuk mengurangi kedua tipe kekeliruan tersebut adalah dengan memperbesar ukuran sampel, yang mungkin atau tidak mungkin dilakukan (Spiegel, 1992).

2.2. Prosedur Dasar Pengujian Hipotesis

Pengujian hipotesis statistik memiliki prosedur yang harus diikuti tergantung pada hipotesisnya yang distribusi populasi. Prosedur umum yang harus diikuti tergantung pada hipotesisnya dan distribusi populasi. Prosedur umum yang harus diikuti dapat dibagi dalam beberapa langkah :

a)      Rumuskan dengan baik hipotesis penelitian agar dapat dihitung statistik sampelnya, seperti rata-rata, seperti :

Pengujian hipotesis dapat dilakukan terhadap satu populasi untuk pengujian hipotesis rata-rata dua populasi. Misalnya, rata-rata tekanan darah sapi Ongole sama dengan tekanan darah sapi Brahman.

H₀ :  =                                            

 =  rata-rata tekanan darah sapi Ongole

 = rata-rata tekanan darah sapi Brahman

Rata-rata tekana darah sampel sapi Ongole dan sapi Brahman adalah x₁ dan x₂.

b)   Tentukan derajat kemaknaan α atau kesalahan tipe 1 yang akan digunakan. Penentuan ini harus dilakukan pada saat perencanaan.

c) Tentukan kesalahan tipe 2 atau β. Biasanya penentuan ini dilakukan pada saat menghitung besarnya sampel.

d)     Tentukan distribusi yang akan digunakan dalam perhitungan. Tentukan metode statistik yang akan digunakan untuk menghitung statistik sampel.

e)      Tentukan kriteria menerima atau menolak hipotesis nol pada derajat kemaknaan yang telah ditentukan.

f)       Buatlah kesimpulan yang tepat pada populasi yang bersangkutan.

                                                                        

Ilusrasi 1. Prosedur Pengujian Hipotesis

2.3.      Uji – Z = Pengujian untuk Sampel Besar

Pengujian hipotesa dapat menggunakan rumus-rumus untuk variabel normal baku (Z) atau t dan sesuai dengan tingkat nyata yang dipilih (α) dan jenis pengujian yang dipilih (dua sisi, satu sisi kanan atau satu sisi kiri). Menggunakan (Z) jika datanya berdistribusi atau mempunyai fungsi normal (data sampel ≥ 30)dan menggunakan uji t jika data sampel kecil (<30).

Nilai Z dihitungkan dengan rumus :  Z =

Untuk pengujian dua sisi :

            H_o diterima, jika –Z α /2 atau Z < Z α /2

            H_o ditolak, jika  Z > Z α /2 atau Z < -Z α /2

Untuk pengujian sisi kanan :

            H_o diterima, jika Z < Z α /2

            H_o ditolak, jika  Z > Z α /2

Untuk pengujian sisi kiri :

            H_o diterima, jika Z >  -Z α /2

            H_o ditolak, jika  Z <  -Z α /2

2.3.1.      Pengujian Parameter Rata-rata, Ho: µ=µ₀ dimana σ² Tidak Diketahui

Nilai Z dihitungkan dengan rumus :  Z =

Untuk pengujian dua sisi :

            H_o diterima, jika –Z α /2 atau Z < Z α /2

            H_o ditolak, jika  Z > Z α /2 atau Z < -Z α /2

Untuk pengujian sisi kanan :

            H_o diterima, jika Z < Z α /2

            H_o ditolak, jika  Z > Z α /2

Untuk pengujian sisi kiri :

            H_o diterima, jika Z >  -Z α /2

            H_o ditolak, jika  Z <  -Z α /2

Contoh :

Jumlah kunjungan di Peternakan A dan jumlah kunjungan di Peternakan B mempunyai varian yang sama, yaitu 25 dan akan diuji apakah terdapat perbedaan. rata-rata jumlah pengunjung di Peternakan A dan Peternakan B berada pada derajat kemaknaan 0,05. Dari Peternakan A dan Peternakan B diambil sampel sebesar 50 dan 60 hari kerja hingga diperoleh rata-rata 62 dan 60 kunjungan.

Jawab :

Hipotesis statistik:       H₀ : µ₁ = µ₂

                                    H_a :µ₁ ≠ µ₂

                                    Α = 0,05

Diketahui:

            n₁ = 50                         n₂ = 60

            = 62                                    2 = 60

            σ₁² = 25                       σ₂²= 25

         = σ

                        = 5√1/50 + 1/60          = 0,957

Interval konfidensi: µ₁ = µ₂ = 0

            0 - 1,96 x 0,957 = -1,87

            0 + 1,96 x 0,957 = 1,87

H₀ akan diterima bila selisih rata-ratanya terletak antara -1,87 dan +1,87. Selisih sampel 62-60=2

Hipotesis nol ditolak pada α 0,05 atau p<0,05

            Kesimpulannya, kita 95% percaya bahwa terdapat perbedaan antara rata-rata sampel pada derajat kemaknaan 0,05 atau p<0,05

Grafik pengujian hipotesis perbedaan jumlah kunjungan peternakan

                                                       

Penyelesaian soal ini dapat dilakukan dengan menghitung nilai Z, seperti berikut:

Z          = ( ) /

            = 62 - 60 / 0,957= 2,09

H₀ akan diterima bila selisih rata-ratanya terletak antara -1,96 dan +1,96 Hipotesis nol ditolak karena terletak diluar daerah penerimaan pada derajat kemaknaan 0,05 atau p<0,05

Grafik pengujian hipotesis perbedaan jumlah kunjungan Peternakan

                                                                    Z = 2,09

2.3.2.      Pengujian H₀ : µ₁ = µ₂ Dimana σ_p²  Diketahui dan σ₁² = σ₂²

Dalam bidang tertentu kita sering dihadapkan dengan masalah yang membutuhkan penarikan kesimpulan, apakah parameter dua populasi memang berbeda atau perbedaan yang tampak hanya desebabkan oleh faktor kebetulan. Dalam hal ini, kita berhadapan dengan perbedaan antara dua populasi. Salah satu macam pengujian hipotesis perbedaan dua parameter populasi adalah pengujian perbedaan rata-rata dua pihak dengan sampel besar dimana kesalahan baku kedua populasi sama dan diketahui. Pengujian hipotesis tersebut bisa dihitung dengan menggunakan rumus berikut :

Statistik uji Z =

Dimana  =  

Contoh soal :

Dua orang teknisi melakukan observasi secara sendiri-sendiri mengenai hasil rata-rata per jam dari penggunaan suatu mesin pemotong bulu domba teknisi (A): 12 obervasi dan memperoleh hasil rata-rata 120 kilogram. Sedangkan teknisi (B): 8 observasi rata-rata 115 kilogram. Pengalaman menunjukkan bahwa σ² = 40 kilogram. Apakah kedua teknisi yakin bahwa beda antara kedua hasil rata-rata tersebut diatas betul-betul nyata, bukan karena faktor kebetulan?

Jawab :

1.                  H₀ : µ₁= µ₂ dan H₁ : µ₁ ≠ µ₂

2.                  α = 0,05

3.                  Z =

4.                  Daerah kritis  (terima H₁) dengan α = 0,05 secara 2 arah

Z > Z ½ α dan Z < - Z ½ α

Z > 1,96 dan Z < - 1,96

5.                  Z =  = 1,73358

6.                  Karena 1,73358 < 1,96 maka H₀ diterima, beda rata-rata hanya disebabkan faktor kebetulan dan tidak nyata serta µ₁= µ₂.

2.4.            Uji-t Pengujian untuk Sampel Kecil

Uji beda dua mean dapat dilakukan dengan menggunakan uji Z atau uji T. Uji Z dapat digunakan bila standar deviasi populasi (σ) diketahui dan jumlah sample besar (lebih dari 30). Apabila kedua syarat tersebut tidak terpenuhi, maka di lakukan uji T. Pada umumnya nilai σ sulit diketahui, sehingga uji beda dua mean biasanya menggunakan Uji T (T - Test). Untuk varian yang sama, bentuk ujinya adalah sebagai berikut.

     X₁ – X₂

T =

        Sp (1/n1) + (1/n2

          (n₁-1) S₁² + (n₂-1) S₂²

SP² =

                  n₁ + n₂ - 2

df = n₁ + n₂ – 2

Keterangan :

N₁ atau n₂ = jumlah sampel kelompok 1 atau 2

S₁ atau S₂ = standar deviasi sampel kelompok 1 dan 2

2.4.1. Pengujian H₀ : µ = µ₀ Dimana σ² Tidak Diketahui

Contoh :

Nilai rata-rata ujian statistika di Fakultas Peternakan tahun lalu adalah 76 dan tahun ini diperkirakan nilai rata-rata tersebut akan sama dengan tahun lalu (H_o). Setelah selesai ujian tahun ini, diambil 40 mahasiswa sebagai sampel dan nilai rata-rata = 73 dengan simpangan baku (S) = 6. Dengan menggunakan α = 5%, apakah H_o diterima atau ditolak?

Jawab: H_o :  Nilai rata-rata ujian statistika = μ = 76

            H₁ :  Nilai rata-rata ujian statistika = μ ≠ 76

Dipergunakan pengujian dua sisi.

            H_o diterima, jika –Z α /2 <  Z < Z α /2

            H_o ditolak, jika  Z > Z α /2 atau Z < -Z α /2

Untuk α = 5%, nilai Z α /2 = 1,96 (lihat table luas kurva normal, angka 95%/2 atau 0,4750 ada pada koordinat 1,9 dan 0,06 atau 1,96)

Data dari sapel seperti tersebut diperoleh:

            Z =   =  =  = -3,16

Oleh karena itu –Z α /2 ( -1,96) < Z ( -3,16)  Z α /2 (1,96), maka kesimpulannya H_o diterima. Atau, dengan kata lain, nilai ujian rata-rata statistika tahun ini sama dengan tahun lalu.

2.4.2. Pengujian Ho : µ_{1 =} µ₂ atau µ_{1 -} µ₂ = 0, Jika σ_{2 ­} tidak diketahui dan             σ ₁² = σ ₂²

Apabila simpangan baku tidak diketahui dan sampelnya kecil maka digunakan distribusi t (Budiarto, 2002). Statistik t dirumuskan sebagai berikut :

t =      (X₁- X₂)  

       Sp √1 / n₁ + 1/n₂

Simpangan baku biasanya ditaksir dari simpangan baku sampel, tetapi karena tidak diketahui, maka harus dihitung dahulu simpangan baku gabungannya (Budiarto, 2002). Rumusnya adalah sebagai berikut :

Sp² = (n₁-1)S₁² + (n₂-1)S₂²

                 n₁ + n₂ – 2

Keterangan :

n₁ atau n₂ = jumlah sampel kelompok 1 atau 2

S₁ atau S₂ = standar deviasi sampel kelompok 1 atau 2

Statistik uji – t memiliki distribusi t dengan derjat bebas (n₁  +  n_{2 ­}- 2). Daerah kritis (menerima H₁) pengujian untuk populasi tak terbatas :

(X₁ – X₂)    >  t (1/2 α : n₁ + n₂ – 2) dan   (X₁ – X₂)    < - t (1/2 α : n₁ + n₂ – 2)

Sp/ √1/n₁ + 1/n₂                                                  Sp/ √1/n₁ + 1/n₂

Contoh :

Dua macam obat penambah bobot badan diberikan pada unggas untuk jangka waktu 3 bulan. Obat 1 diberikan pada 10 unggas, sedangkan obat kedua diberikan kepada 9 unggas. Ingin diuji apakah terdapat perbedaan dalam sistem kerja pada kedua macam obat tersebut dengan derajat kemaknaan 0,05.

Obat ke-1 dapat menambah produksi daging 9,6 kg dan obat ke-2 menambah produksi daging 10 kg.

Diketahui :

X₁ = 9,6 kg      X₂ = 10 kg

S₁² = 16               S₂² = 9

n₁ = 10             n₂ = 9

Hipotesis statistik:

H₀ : µ_{1 =} µ₂

H_a : µ₁ ≠µ₂

α = 0,05

dk = 17

Ditanyakan :

Apakah terdapat perbedaan antara keduanya?

Penyelesaian :

Sp² = (n₁-1)S₁² + (n₂-1)S₂²

                 n₁ + n₂ – 2

Sp² = (10-11) 6 + (9-1) 9 = 12,7

                        17

S = 3,56

S _(X1-X2) = S√1/n₁ +1/n₂

              =3,56√1/10+1/9 = 1,636

 t =      (X₁- X₂)  

       Sp √1 / n₁ + 1/n₂

     =      (9,6- 10)  

               1,64

   = - 0,244

t, dk 17 = 2,11

H₀ akan diterima apabila hasil perhitungan “t” terletak antara -2,11 & + 2,11. Kesimpulannya H₀ diterima pada α 0,05atau p > 0,05 atau tidak terdapat perbedaan antara 2 macam obat penambah bobot badan  tersebut.

2.4.3. Pengujian Ho : µ_{1 =} µ₂ atau µ_{1 -} µ₂ = 0, Jika σ_{2 ­} tidak diketahui dan

σ ₁² ≠ σ ₂²

Statistik t dirumuskan sebagai berikut :

t =  (X₁- X₂) - (µ₁ - µ₂)

        √S₁² / n₁ + S₂²/n₂

db = (S₁²/n₁) + (S_{2 /} n₂)²

        (S₁²/ n₁)² + (S₂² / n₂)²

          n₁ + 1           n₂+2

Bila populasi berdistribusi normal atau mendekati normal maka varian populasinya dapat ditaksir dari varian sampel. Rumus “t” tidak dapat langsung digunakan karena hanya ini merupakan pendekatan saja, tetapi t ½ α harus dihitung dahulu menggunakan rumus berikut :

t_0,05 = t₁ (S₁² / n₁) + t₂ (S₂² / n₂)

             S₁² / n₁ + S₂² / n₂

t’ =            w₁t₁ + w₂t₂

          w₁ + w₂

dimana: w₁ = S₁² / n₁               t₁ = t (1/2 α; n₁ – 1)

  w₂ = S₂² / n₂               t₂ = t (1/2 α; n₂ – 1)

sehingga kriteria test untuk uji 2 arah :

- w₁t₁ + w₂t₂    < t <    w₁t₁ + w₂t₂

    w₁ + w₂                             w₁ + w₂

Contoh :

Sepuluh ayam broiler yang diare diberi kloramfenikol 3 x 500 mg per hari dengan kesembuhan rata-rata 7 hari dengan deviasi standar 1,5 hari. Lima ayam broiler yang diare diberi tetrasiklin 3 x 500 mg dengan rata-rata kesembuhan 6 hari dengan deviasi standar 1,5 hari.

Jika ingin diuji apakah terdapat perbedaan antara efek kloramfenikol dan tetrasiklin terhadap penyakit diare pada derajat kemaknaan 0.05 maka bagaimanakah hasilnya ?

Diketahui:

n₁ = 10             n₂ = 15

S₁ = 2                   S₂= 1,5

dk = 9              dk = 14

H₀ : µ_{1 =} µ₂

H_a : µ₁ ≠µ₂

α = 0,05

t =          7-6            = 1,35

     √4/10 + 2,25/15

t _{dk 9} = 2,262

t _{dk 14} = 2,145

t_0,05 = (2,62 x 4/10 + 2,145 x 2,25/15) / (4/10 +2,25/15)

         = 2,23

Ternyata, t < t_0,05. Jadi, hipotesis diterima pada derajat kemaknaan 0,05. Kesimpulannya, tidak ada perbedaan antara kloramfenikol dan tetrasiklin dalam pengobatan diare pada ayam broiler.

BAB III

KESIMPULAN

Hipotesis adalah perumusan sementara mengenai sesuatu hal yang dibuat untuk menjelaskan hal itu dan untuk menuntun atau mengarahkan penyelidikan selanjutnya. Dalam melakukan hipotesis, ada dua macam kekeliruan yang dapat terjadi, dikenal dengan nama-nama, yaitu kekeliruan tipe I adalah menlolak hipotesis yang seharusnya diterima dan kekeliruan tipe II adalah menerima hipotesis yang seharusnya ditolak. Prosedur pengujian hipotesis, yaitu merumuskan hipotes, menentukan taraf nyata, menentukan uji statistik, menentukan daerah keputusan dan mengambil keputusan, sehingga kita dapat menarik kesimpulan sesuai dengan prosedur hipotesis.

DAFTAR PUSTAKA

Budiarto, E. 2002. Biostatistika untuk Kedokteran dan Kesehatan Masyarakat. Jakarta: Penerbit Buku Kedokteran EGC.

Chandra, B. 2009. Biostatik Untuk Kedokteran dan Kesehatan. Jakarta: Penerbit Buku Kedokteran.

Dajan, A. 1991. Pengantar Metode Statistik Jilid II. Jakarta: Lembaga Penelitian, Pendidikan dan Penerangan Ekonomi dan Sosial.

Kuswadi dan E. Mutiara. 2004. Statistik Berbasis Komputer untuk Orang-Orang Non Statistik. Jakarta: PT Elex Media Komputindo.

Spiegel, M. R. 1992. Statistik Versi SI (Metrik). Jakarta: Penerbit Erlangga. Diterjemahkan oleh I Nyoman Susila dan Ellen Gunawan.