Sabtu, 31 Agustus 2013
REGRESI BERGANDA
Materi "Regresi Berganda" dapat didownload di PDF1, PDF2, PDF3, PDF4, PDF5, PDF6(r)(mantap), PDF7(rmanual)(excel), PDF8(r visual), PPT1, PPT2, PPT3, PPT4
VARIABEL ACAK (RANDOM VARIABLE)
VARIABEL ACAK DAN NILAI HARAPAN
VARIABEL ACAK
Untuk
menggambarkan hasil-hasil percobaan sebagai nilai-nilai numerik secara
sederhana, kita menggunakan apa yang disebut sebagai variabel acak. Jadi
variabel acak dapat didefinisikan sebagai deskripsi numerik dari hasil
percobaan.
Variabel
acak biasanya menghubungkan nilai-nilai numerik dengan setiap kemungkinan hasil
percobaan. Karena nilai-nilai numerik tersebut dapat bersifat diskrit(hasil
perhitungan) dan bersifat kontinu(hasil pengukuran) maka variabel acak dapat
dikelompokkan menjadi variabel acak diskrit dan variabel acak kontinu.
Variabel Acak Diskrit
Varibel
acak diskrit adalah variabel acak yang tidak mengambil seluruh nilai yang ada
dalam sebuah interval atau variabel yang hanya memiliki nilai tertentu.
Nilainya merupakan bilangan bulat dan asli, tidak berbentuk pecahan. Variabel
acak diskrit jika digambarkan pada sebuah garis interval, akan berupa sederetan
titik-titik yang terpisah.
Contoh
:
- Banyaknya pemunculan sisi muka atau angka dalam pelemparan sebuah koin (uang logam).
- Jumlah anak dalam sebuah keluarga.
Varibel
acak kontinu adalah variabel acak yang mengambil seluruh nilai yang ada dalam
sebuah interval atau variabel yang dapat memiliki nilai-nilai pada suatu
interval tertentu. Nilainya dapat merupakan bilangan bulat maupun pecahan.
Varibel acak kontinu jika digambarkan pada sebuah garis interval, akan berupa
sederetan titik yang bersambung membantuk suatu garis lurus.
Contoh
:
- Usia penduduk suatu daerah.
- Panjang beberpa helai kain.
DISTRIBUSI PROBABILITAS VARIABEL ACAK DISKRIT
Distribusi
probabilitas variabel acak menggambarkan bagaimana suatu probabilitas
didistribusikan terhadap nilai-nilai dari variabel acak tersebut. Untuk
variabel diskrit X, distribusi probabilitas didefinisikan dengan fungsi
probabilitas dan dinotasikan sebagai p(x).
Fungsi probabilitas p(x) menyatakan probabilitas untuk
setiap nilai variabel acak X.
Contoh
:
Jumlah mobil terjual dalam sehari
menurut jumlah hari selama 300 hari
Jumlah mobil terjual dalam sehari
|
Jumlah hari
|
0
1
2
3
4
5
|
54
117
72
42
12
3
|
Total
|
300
|
Distribusi Probabilitas Jumlah
Mobil Terjual dalam Sehari
X
|
p(x)
|
0
1
2
3
4
5
|
0,18
0,39
0,24
0,14
0,04
0,01
|
Total
|
1,00
|
Dalam
membuat suatu fungsi probabilitas untuk variabel acak diskrit, kondisi berikut
harus dipenuhi.
1.
p(x)
³ 0 atau 0 £ p(x) £ 1
2.
S
p(x) = 1
Kita juga bisa menyajika distribusi probabilitas dengan
menggunakan grafik.
Fungsi Probabilitas Kumulatif Variabel Acak diskrit
Fungsi
probabilitas kumulatif digunakan untuk menyatakan jumlah dari seluruh nilai
fungsi probabilitas yang lebih kecil atau sama dengan suatu nilai yang
ditetapkan.
Secara
matematis, fungsi probabilitas kumulatif dinyatakan sebagai berikut.
F(x)
= P(X £ x) = X £ p(x)
Dimana
F(x)
= P(X £ x)
menyatakan fungsi probabilitas kumulatif pada titik X = x yang merupakan jumlah
dari seluruh nilai fungsi probabilitas untuk nilai X sama atau kurang dari x.
Contoh
:
Probabilitas Kumulatif dari
jumlah mobil terjual dalam sehari
X
|
F(x)
|
0
1
2
3
4
5
|
0,18
0,57 (=
0,18 + 0,39)
0,81 (=
0,18 + 0,39 + 0,24)
0,95 (=
0,18 + 0,39 + 0,24 + 0,14)
0,99 (=
0,18 + 0,39 + 0,24 + 0,14 + 0,04)
1,00 (=
0,18 + 0,39 + 0,24 + 0,14 + 0,04 + 0,01)
|
Kita
bisa menyajikan fungsi probabilitas kumulatif dalam bentuk grafik
DISTRIBUSI PROBABILITAS
VARIABEL ACAK KONTINU
Distribusi
probabilitas variabel acak kontinu dinyatakan dengan fungsi f(x) dan sring
disebut sebagai fungsi kepadatan atau fungsi kepadatan probabilitas dan bukan
fungsi probabilitas. Nilai f(x) bisa lebih besar dari 1.
Fungsi
kepadatan probabilitas harus memenuhi syarat sebagai berikut.
1.
f(x)
≥ 0
2.
(integral seluruh
fungsi kepadatan probabilitas f(x) = 1)
(integral seluruh
fungsi kepadatan probabilitas f(x) = 1)
3.
P(a
< X < b) = 
Catatan
: f(x) dx = P{x ≤ X ≤ (x + dx)}, yaitu probabilitas bahwa nilai X terletak pada
interval x dan x + dx.
Fungsi Probabilitas
Kumulatif Variabel Acak Kontinu
Kalau
pada variabel acak diskrit, fungsi probabilitas kumulatif dihitung dengan cara
penjumlahan maka pada variabel acak kontinu, probabilitas kumulatif dicari
dengan integral.
Rumusnya
adalah sebagai berikut.
F(x)
= P(X ≤ x) = 
Nilai-nilai
dalam rumus ini harus kontinu atau dalam suatu interval.
FUNGSI PROBABILITAS
BERSAMA
Bila
X dan Y adalah dua variabel acak diskrit, distribusi probabilitas bersamanya
dapat dinyatakan sabagai sebuah fungsi f(x,y) bagi sembarang nilai (x,y) yang
dapat diambil oleh peubah acak X dan Y. Sehingga dalam rumus variabel acak
diskrit.
f(x,y) = p(X = x, Y = y)
Dimana
nilai f(x,y) menyatakan peluang bahwa x dan y terjadi secara bersamaan.
Sedangkan
distribusi probabilitas kumulatif bersama X dan Y terdiri dari nilai (x,y) dan
f(x,y) untuk semua (X,Y)
Kalau
dua variabel X, Y dan P(P = x, Y = y) = p(x,y) merupakan suatu fungsi yang
memenuhi syarat berikut :
1.
p(x,y) ≥ o, untuk seluruh nilai X dan Y
2.
(penjumlahan untuk
seluruh nilai X dan Y)
(penjumlahan untuk
seluruh nilai X dan Y)
maka
p(x,y) disebut fungsi probabilitas bersama X dan Y.
Fungsi
p(x) dan q(y) yang diperoleh langsung dari p(x,y) disebut fungsi marjinal.
Fungsi
marjinal p(x) dan q(y) dapat dilihat dalam tabel, pada beris dan kolom yang
paling akhir (pada tepi tabel, marjin = tepi/pinggir).
NILAI HARAPAN DAN
VARIANS DARI VARIABEL ACAK DISKRIT
Rata-rata
(m) dari distribusi probabilitas adalah
nilai harapan dari variabel acaknya.
Nilai
harapan variabel acak diskrit adalah rata-rata tertimbang terhadap seluruh
kemungkinan hasil dimana penimbangnya adalah nilai probabilitas yang
dihubungkan dengan setiap hasil.
Nilai
harapan diperoleh dengan menyatakan setiap kemungkinan hasil x dengan
probabilitasnya P(X) dan kemudian menjumlahkan hasil perkalian tersebut.
Nilai
harapan dari variabel acak diskrit X yang dinotasikan dengan E(X) dirumuskan
sebagai berikut.
= x1 p(x1) + x2 p(x2) + ….+ xN
p(xN)
dimana.
xi = nilai ke-I dari variabel acak X
p(xi)
= probabilitas terjadinya xi
Selain
rata-rata, ukuran statistic yang lain adalah varians dan standar deviasi.
Varians
(s2) dari variabel acak diskrit didefinisikan sebagai
berikut.
Varians
dari variabel acak diskrit adalah rata-rata tertimbang dari kuadrat selisih
antara kemungkinan hasil dan rata-ratanya dimana penimbangnya adalah
probabilitas dari masing-masing hasil tersebut.
Varians diperoleh
dengan mengalikan setiap
kemungkinan kuadrat selisih (xi - m)2 dengan probabilitasnya
p(xi) dan kemudian menjumlahkan seluruh hasil perkalian tersebut.
Sehingga varians dinyatakan sebagai berikut dimana:
xi = nilai ke-I dari
variable acak X
p(xi) = probabilitas
terjadinya xi
Standar
deviasi s
diperoleh dengan menarik akar dari s2.
Nilai Harapan dari
Fungsi Probabilitas Bersama
Jika
fungsi probabilitas bersama dinotasikan dengan p(x, y) untuk variabel acak X
dan Y, maka nilai harapan dari variabel acak h(x, y) yang merupakan fungsi dari
X dan Y adalah sebagai berikut.
E[h(x, y)] = SSh9x, y) p(x, y)
Dimana.
h(x, y) adalah sembarang fungsi
dari X dan Y
p(x, y) adalah probabilitas
terjadinya X dan Y secara bersama-sama.
Kalau
h(x, y) = xy, maka
E[h(x, y)] = E(XY) = SSxy p(x, y)
Kalau
h(x, y) = x + y, maka
E[h(x, y)] = e(X + Y) = SS(x + y) p(x, y)
Aturan-aturan dalam
Menghitung Nilai Harapan.
1.
E(k)
= k, k = bilangan konstan.
2.
Varians
(k) = 0 dan varians (X) = s2
3.
E(kX)
= k E(X)
4.
Varians
(kX) = k2s2
5.
E(X
± Y) = E(X) ± E(Y)
E(S Xi) = SE(Xi) i = 1, 2, …, n
E(Ski Xi) = S ki E(Xi) i = 1, 2, …, n
KOVARIANS
DAN APLIKASINYA DALAM KEUANGAN
Pada sub bab ini, kita pelajari konsep
kovarians antara dua variabel dan kegunaannya dalam manajemen portfolio dan
keungan.
Kovarians
Kovarians
adalah suatu pengukur yang menyatakan variasi bersama dari dua variable acak.
Kovarians antara dua variabel acak diskrit X dan Y dinotasikan dengan sxy dan didefinisikan sebagai berikut dimana
Xi = nilai variable acak
X ke-i
Yi = nilai variable acak Y ke-i
P(xi, yi) =
probabilitas terjadinya xi dan yi
i = 1, 2, …, N
Nilai Harapan dari
Penjumlahan Dua Variabel
Nilai
harapan dari penjumlahan dua variable acak adalah sama dengan penjumlahan dari
nilai harapan masing-masing variabel acak.
E(X + Y) = E(X) + E(Y)
Varians dari Penjumlahan
Dua Variabel
Varians
dari penjumlahan dua variabel acak adalah sama dengan jumlah varians dari
masing-masing variabel ditambah dua kali kovarians.
Standar Deviasi dari
Penjumlahan dua Variabel
Portfolio Expected
Return dan Fortfolio Risk
Setelah
kita definisikan kovarians, expected return, dan standar deviasi dari penjumlahan
dua variabel acak, kita dapat menerapkan konsep-konsep tersebut pada studi
mengenai sekelompok asset yang merujuk pada apa yang disebut sebagai portfolio.
Dengan menanamkan investasi yang disebarkan pada tidak hanya satu perusahaan,
investor mengkombinasikan pengembalian dan meminimumkan resiko. Dalam studi
portfolio, kita menggunakan penimbang untuk setiap jenis investasi dengan
proporsi asset pada investasi tersebut. Hal ini memungkinkan kita untuk
menghitung portfolio expected return dan portfolio risk.
Portfolio
expected return untuk investasi dua asset sama dengan penimbang bagi asset X
dikalikan dengan expected return dari asset X ditambah dengan penimbang bagi
asset Y dikalikan dengan expected return asset Y.
E(P) = wE(X) + (1 - w) E(Y)
Dimana.
E(P) = portfolio expected return
w
=
proporsi nilai portfolio dari asset X
(1 - w) = proporsi nilai portfolio dari
asset Y
E(X) = expected return asset X
E(Y) = expected return asset Y
Materi PPT dapat di download di PPT1
dan PPT2
MARS STATISTIKA
Bergeraklah barisan statistik
Tekadkan semangat juangmu
Hadapilah setiap rintangan
Demi kemajuan statistik
Statistik memang paling keren
untuk kita semua
Kerahkan semua daya dan upaya
Demi kemajuan statistik
Bangkitlah tunas hijau pilihan
Kitalah tempat tumpuan harapan
Ditempa dan dibina tuk satu tujuan
Maju dan jayalah statistik
Statistik memang paling keren
untuk kita semua
Kerahkan semua daya dan upaya
Demi kemajuan statistik
Statistik BANGKIT !
Statistik MAJU !
Statistik JAYA !
HIDUP STATISTIKA !!!!
DISTRIBUSI NORMAL STANDARD (BAKU)
Distribusi
normal standard (baku) adalah distribusi normal yang memiliki sifat khusus,
yaitu distribusi dengan : rata-rata(µ) = nol(0) dan simpangan baku(σ) = satu(1). Distribusi normal
standard (baku) muncul sebagai solusi dari adanya masalah dalam penyusunan
tabel distribusi normal. Masalah tersebut ialah kenyataan bahwa terdapat banyak
sekali macam distribusi normal dipengaruhi oleh nilai rata-rata dan simpangan
baku nya. Oleh karena itu agar kita tetap dapat mencari probabilitas suatu
interval dengan menggunakan langkah praktis melalui tabel distribusi normal
daripada perhitungan metode integral yang lebih kompleks, maka digunakanlah apa
yang disebut dengan distribusi normal standard (baku).
Maka dari
itu, seluruh pengamatan dengan setiap peubah acak normal X dapat
ditransformasikan menjadi himpunan pengamatan baru suatu peubah acak normal Z
dengan rata-rata = nol dan simpangan baku = satu.
Hal ini
dapat dikerjakan dengan transformasi sebagai berikut:
Keterangan:
Z = angka baku/standard
X = nilai
data
µ =
rata-rata populasi
σ =
simpangan baku populasi.
Bentuk
transformasi di atas memetakan distribusi normal menjadi distribusi normal
standard (baku), sebab distribusi normal dengan variabel Z ini memiliki nilai
rata-rata = nol dan simpangan baku = satu. Transformasi ini juga mempertahankan
luas di bawah kurva distribusi normal nya. Artinya, Luas di bawah kurva
distribusi normal antara x1 dan x2 = Luas dibawah kurva
distribusi normal standard antara z1 dan z2. Hal ini terjadi,
karena bagaimanapun hanya nilai-nilai Z dari variabel-variabel yang
berdistribusi normal yang akan dengan sendirinya berdistribusi normal sehingga
transformasi dari Z tidak mengubah bentuk maupun luasnya.
Selanjutnya,
aspek dari distribusi normal yang tidak kalah penting nya adalah tabel
distribusi normal standard. Table distribusi standard disusun untuk menghitung
probabilitas nilai-nilai variable normal standard. Tabel distribusi normal
standar dibuat hanya untuk menghitung bagian sebelah kanan rata-rata dari
distribusi tersebut. Untuk menghitung nilai di sebelah kiri, maka nilai Z yang
negatif dianggap sama dengan Z positif, sehingga tabel tersebut tetap bisa
digunakan. Nilai-nilai probabilitas yang terdapat dalam tabel tersebut
adalah nilai probabilitas antara μ = 0 dan satu nilai Z tertentu, bukan antara
dua buah nilai Z sembarang.
|
Distribusi Normal dan Distribusi
Normal Standar (baku)
|
Distribusi
normal adalah distribusi yang terpenting dalam bidangstatistika, penemunya
adalah DeMoivre (1733) dan Gauss. Distribusi inibergantung pada 2 parameter
yaitu µ (rataan populasi) dan σ(simpangan bakupopulasi).Fungsi padat peubah acak normal X yaitu n(x; µ, σ) :
Distribusi
normal dengan µ=0 dan σ=1 disebut distribusi normal baku µ
Sifat-sifat
kurva normal:
1. Modus,terdapat pada x= µ
2. Kurva setangkup terhadap rataan µ
3. Kurva mempunyai titik belok pada : x = µ ± σ, cekung ke bawah
jika µ -σ < X <µ+σ dan cekung ke atas untuk x yang lainnya
4. Kedua ujung kurva mendekati sumbu X (asimtot datar
kurva normal)
5. Seluruh luas di bawah kurva = 1
PENGUJIAN HIPOTESIS (1)
A. Pengertian Pengujian Hipotesis
Hipotesis berasal dari bahasa Yunani, yaitu hupo dan thesis. hupo berarti lemah, kurang, atau di bawah dan thesis berarti teori, proposisi, atau pernyataan yang disajikan sebagai bukti. Jadi, hipotesis dapat diartikan sebagai suatu pernyataan yang masih lemah kebenarannya dan perlu dibuktikan atau dugaan yang sifatnya masih sementara.(Hasan:2005,167)
Hipotesis statistik adalah pernyataan atau dugaan mengenai keadaan populasi yang sifatnya masih sementara atau lemah kebenarannya. Hipotesis statistik akan diterima jika hasil pengujian membenarkan pernyataannya dan akan ditolak jika terjadi penyangkalan dari pernyataannya.
Dalam pengujian hipotesis, keputusan yang dibuat mengandung ketidakpastian, artinya keputusan bisa benar atau salah, sehingga menimbulkan resiko. Besar kecilnya resiko dinyatakan dalam bentuk probabilitas.
B. Kegunaan Pengujian Hipotesis
1. Hipotesis memberikan penjelasan sementara tentang gejala-gejala serta memudahkan
perluasan pengetahuan dalam suatu bidang.
2. Hipotesis memberikan suatu pernyataan hubungan yang langsung dapat diuji dalam
penelitian.
3. Hipotesis memberikan arah kepada penelitian.
4. Hipotesis memberikan kerangka untuk melaporkan kesimpulan penyelidikan
C. Dua Tipe Hipotesis
- Hipotesis Korelatif yaitu pernyataan tentang ada atau tidak adanya hubungan antara dua
variable atau lebih.
- Hipotesis komparatif yaitu pernyataan tentang ada atau tidak adanya perbedaan antara
dua kelompok atau lebih.
D. Prosedur Pengujian Hipotesis
Langkah langkah yang dipergunakan dalam menyelesaikan pengujian hipotesis tersebut.
Berikut adalah langkah langkah pengujian hipotesis :
1. Menentukan Formulasi Hipotesis
Dalam langkah ini, formulasi hipotesisi dapat dibedakan menjadi dua, yaitu :
a. Hipotesis nol atau hipotesis nihil ( nullhypotheses)
Disimbolkan H0 merupakan hipotesis yang dirumuskan sebagai suatu pernyataan
yang akan diuji. Disebut hipotesis nol karena hipotesis tersebut tidak
memiliki perbedaan atau perbedaanya nol dengan hipotesis sebenarnya.
b. Hipotesis Alternatif atau Hipotesis Tandingan
Disimbolkan H1 atau Ha, merupakan hipotesis yang dirumuskan sebagai lawan
atau tandingan dari hipotesis nol. Dalam penyusunan hipotesis ini, akan
timbul tiga keadaan , yaitu:
- Hipotesis mengandung pengertian sama. Pengujian ini disebut pengujian dua
sisi atau pengujian dua arah, yaitu pengujian sisi atau arah kanan dan kiri.
H0 : θ = θ0
H1 : θ ≠ θ0
- Hipotesis mengandung pengertian maksimum. Pengujian ini disebut satu sisi
atau satu arah, yaitu pengujian sisi atau arah kanan.
H0: θ = θ0
H1: θ > θ0
- Hipotesis mengandung pengertian minimum. Pengujian ini disebut satu sisi
atau arah yaitu pengujian sisi atau arah kiri.
H0: θ = θ0
H1: θ < θ0
2. Menentukan Taraf Nyata (Significant Level)
Taraf nyata adalah besarnya batas toleransi dalam menerima kesalahan hasil
hipotesis terhadap nilai parameter populasinya (Hasan:2005,173).
Taraf nyata dilambangkan dengan α (alpha). Besaran yang sering digunakan
untuk menentukan menetukan taraf nyata dinyatakan dalam %, yaitu
1% (0,01), 5% (0,05), 10% (0,1). Besarnya nilai α bergantun pada keberanian
pembuat keputusan yang dalam hal ini berapa besarnya kesalahan yang
akan ditolerir. Besarnya kesalahan tersebut disebut sebagai daerah kritis
pengujian (critical region of a test) atau daerah penolakan (region og rejection).
3. Menentukan Nilai Uji Statistik
Uji statistika merupakan rumus rumus yang berhubungan dengan distribusi tertentu
dalam pengujian hipotesis. Uji statistic merupakan perhitungan untuk menduga
parameter data sampel yang diambil secara random dari sebuah populasi.
4. Menentukan Kriteria Pengujian (diterima atau ditolak)
Kriteria pengujian adalah bentuk pembuatan keputusan dalam menerima atau
menolak hipotesis nol (H0) dengan cara membandingkan nilai α tabel distribusinya
(nilai kritis) dengan nilai uji statistiknya, sesuai dengan bentuk pengujiannya.
a. Penerimaan H0 terjadi jika nilai uji statistiknya lebih kecil atau lebih besar
daripada nilai positif atau negatif dari α tabel. Atau nilai uji statistik berada
di luar nilai kritis.
b. Penolakan H0 terjadi jika nilai uji statistiknya lebih besar atau lebih kecil
daripada nilai positif atau negatif dari α tabel. Atau nilai uji statistik berada di
dalam nilai kritis.
5. Membuat Kesimpulan
Pembuatan kesimpulan merupakan penetapan keputusan dalam penerimaan atau
penolakan hipotesis nol(H0), sesuai dengan kriteria pengujiannya. Pembuatan
kesimpulan dilakukan setelah membandingkan nilai uji statistic dengan nilai α tabel
atau nilai kritis.
Hipotesis berasal dari bahasa Yunani, yaitu hupo dan thesis. hupo berarti lemah, kurang, atau di bawah dan thesis berarti teori, proposisi, atau pernyataan yang disajikan sebagai bukti. Jadi, hipotesis dapat diartikan sebagai suatu pernyataan yang masih lemah kebenarannya dan perlu dibuktikan atau dugaan yang sifatnya masih sementara.(Hasan:2005,167)
Hipotesis statistik adalah pernyataan atau dugaan mengenai keadaan populasi yang sifatnya masih sementara atau lemah kebenarannya. Hipotesis statistik akan diterima jika hasil pengujian membenarkan pernyataannya dan akan ditolak jika terjadi penyangkalan dari pernyataannya.
Dalam pengujian hipotesis, keputusan yang dibuat mengandung ketidakpastian, artinya keputusan bisa benar atau salah, sehingga menimbulkan resiko. Besar kecilnya resiko dinyatakan dalam bentuk probabilitas.
B. Kegunaan Pengujian Hipotesis
1. Hipotesis memberikan penjelasan sementara tentang gejala-gejala serta memudahkan
perluasan pengetahuan dalam suatu bidang.
2. Hipotesis memberikan suatu pernyataan hubungan yang langsung dapat diuji dalam
penelitian.
3. Hipotesis memberikan arah kepada penelitian.
4. Hipotesis memberikan kerangka untuk melaporkan kesimpulan penyelidikan
C. Dua Tipe Hipotesis
- Hipotesis Korelatif yaitu pernyataan tentang ada atau tidak adanya hubungan antara dua
variable atau lebih.
- Hipotesis komparatif yaitu pernyataan tentang ada atau tidak adanya perbedaan antara
dua kelompok atau lebih.
D. Prosedur Pengujian Hipotesis
Langkah langkah yang dipergunakan dalam menyelesaikan pengujian hipotesis tersebut.
Berikut adalah langkah langkah pengujian hipotesis :
1. Menentukan Formulasi Hipotesis
Dalam langkah ini, formulasi hipotesisi dapat dibedakan menjadi dua, yaitu :
a. Hipotesis nol atau hipotesis nihil ( nullhypotheses)
Disimbolkan H0 merupakan hipotesis yang dirumuskan sebagai suatu pernyataan
yang akan diuji. Disebut hipotesis nol karena hipotesis tersebut tidak
memiliki perbedaan atau perbedaanya nol dengan hipotesis sebenarnya.
b. Hipotesis Alternatif atau Hipotesis Tandingan
Disimbolkan H1 atau Ha, merupakan hipotesis yang dirumuskan sebagai lawan
atau tandingan dari hipotesis nol. Dalam penyusunan hipotesis ini, akan
timbul tiga keadaan , yaitu:
- Hipotesis mengandung pengertian sama. Pengujian ini disebut pengujian dua
sisi atau pengujian dua arah, yaitu pengujian sisi atau arah kanan dan kiri.
H0 : θ = θ0
H1 : θ ≠ θ0
- Hipotesis mengandung pengertian maksimum. Pengujian ini disebut satu sisi
atau satu arah, yaitu pengujian sisi atau arah kanan.
H0: θ = θ0
H1: θ > θ0
- Hipotesis mengandung pengertian minimum. Pengujian ini disebut satu sisi
atau arah yaitu pengujian sisi atau arah kiri.
H0: θ = θ0
H1: θ < θ0
2. Menentukan Taraf Nyata (Significant Level)
Taraf nyata adalah besarnya batas toleransi dalam menerima kesalahan hasil
hipotesis terhadap nilai parameter populasinya (Hasan:2005,173).
Taraf nyata dilambangkan dengan α (alpha). Besaran yang sering digunakan
untuk menentukan menetukan taraf nyata dinyatakan dalam %, yaitu
1% (0,01), 5% (0,05), 10% (0,1). Besarnya nilai α bergantun pada keberanian
pembuat keputusan yang dalam hal ini berapa besarnya kesalahan yang
akan ditolerir. Besarnya kesalahan tersebut disebut sebagai daerah kritis
pengujian (critical region of a test) atau daerah penolakan (region og rejection).
3. Menentukan Nilai Uji Statistik
Uji statistika merupakan rumus rumus yang berhubungan dengan distribusi tertentu
dalam pengujian hipotesis. Uji statistic merupakan perhitungan untuk menduga
parameter data sampel yang diambil secara random dari sebuah populasi.
4. Menentukan Kriteria Pengujian (diterima atau ditolak)
Kriteria pengujian adalah bentuk pembuatan keputusan dalam menerima atau
menolak hipotesis nol (H0) dengan cara membandingkan nilai α tabel distribusinya
(nilai kritis) dengan nilai uji statistiknya, sesuai dengan bentuk pengujiannya.
a. Penerimaan H0 terjadi jika nilai uji statistiknya lebih kecil atau lebih besar
daripada nilai positif atau negatif dari α tabel. Atau nilai uji statistik berada
di luar nilai kritis.
b. Penolakan H0 terjadi jika nilai uji statistiknya lebih besar atau lebih kecil
daripada nilai positif atau negatif dari α tabel. Atau nilai uji statistik berada di
dalam nilai kritis.
5. Membuat Kesimpulan
Pembuatan kesimpulan merupakan penetapan keputusan dalam penerimaan atau
penolakan hipotesis nol(H0), sesuai dengan kriteria pengujiannya. Pembuatan
kesimpulan dilakukan setelah membandingkan nilai uji statistic dengan nilai α tabel
atau nilai kritis.
PENGUJIAN HIPOTESIS (3)
Makalah Uji Hipotesis Statistika
BAB
I
PENDAHULUAN
Ketika kita menggunakan
statistika untuk menguji hipotesis maka muncullah dua macam hipotesis berupa
hipotesis penelitian dan hipotesis statistika. Tepatnya hipotesis penelitian
kita rumuskan kembali menjadi hipotesis statistika yang sepadan. Hipotesis
statistika harus mencerminkan dengan baik maksud dari hipotesis penelitian yang
akan diuji.
Dalam memebuat
keputusan mengenai populasi atas informasi dari sampel, dibutuhkan
asumsi-asumsi mengenai populasi yang
bersangkutan, yang disebut sebagai Hipotesa Statistik yang umumnya merupakan
pernyataan mengenai sebaran peluang dari populasi. Hipotesa statistik
dirumuskan dengan tujuan untuk menolaknya.
Hipotesis yang bersifat
statistik sebenarnya dapat diartikan sebagai suatu asumsi mengenai parameter
fungsi frekuensi variable random. Berdasarkan penaksiran, lalu kesimpulan dibuat
bagaimana atau berapa besar harga parameter tersebut.
BAB
II
PEMBAHASAN
2.1. Pengertian Pengujian Hipotesis
Hipotesis adalah pernyataan
tentang sesuatu yang perlu dibuktikan atau diuji kebenarannya (Kuswadi, 2004). Asumsi atau dugaan mengenai
sesuatu hal yang dibuat untuk menjelaskan hal itu yang sering dituntut untuk
melakukan penegcekkannya. Jika asumsi atau dugaan itu dikhususkan mengenai
populasi, maka hipotesis tersebut merupakan hipotesis statistik. Setiap hipotesis bisa
benar atau tidakbenar dan karenanya perlu diadakan penelitian sebelum hipotesis
itu diterima atau ditolak. Langkah atau prosedur untuk menentukan apakah
hipotesis tersebut diterima atau ditolak disebut dengan pengujian hipotesis.
Telah kita ketahui bahwa suatu penduga pada umumnya tidaklah harus sama dengan
nilai parameter yang sebenarnya.
Misalnya, distribusi
probabilita yang merupakan model bagi distribusi X, katakanlah hasil penstensilan kertas koran
dalam n percobaan penstensilan demikian dinyatakan sebagai :
F(x) = (NCx) px
(1-p)n-x
Jika p = ¼ dan n= 500, maka
F(x) =
|
500!
|
(1/4)x(3/4)500-x
|
X!(500-x)
|
Parameter p diatas
merupakan probabilita kerusakan pada setiap penstensilan sedemikian itu dan
dapat merupakan suatu asumsi yang memiliki karakteristik hipotesis statistik
karena p = ¼ merupakan parameter fungsi frekuensi vareiable random p.
Andaikan kita meragukan
hipotesis diatas, maka kita dapat
mengujinya secara statistik pula jika sekali lagi jika datanya dapat
dukumpulkan dan dianalisa dalam cara yang memenuhi ketentuan asas-asas
statistik. Pengujian hipotesis diatas dianggap sebagai suatu prosedur guna
menentukan apakah hipotesis diatas sebaiknya diterima atau ditolak andaikan
keraguan kita mengenai p = ¼ di atas disebabkan oleh adanya kemungkinan p = ½
meskipun kita yakin bahwa kemungkinan p = ¼ lebih besar dari pada p = ½ . maka, hipotesis yang akan kita uji dapat
dinyatakan sebagai berikut. H0 : p = ¼ dan H1 : p ≠¼
H0 merupakan
hipotesis nol dan merupakan hipotesis yang akan diuji danyang nantinya akan
diterima atau ditolak tergantung pada hasil eksperimen atau pemilihan
sampelnya. H1 merupakan hipotesis alternatif atau hipotesis
tandingan. Pengujian diatas membutuhkan observasi atau hasil pemilihan sampel
yang bersifat random tentang frekuensi kerusakan X/n hasil penstensilan itu
sendiri. Observasi pemilihan sampel sedemikian itu dapat dilakukan secara
berulang-ulang kali atau sekali saja.atas dasar nilai statistik sampel,
keputusan diambil untuk menentukan apakah H0 tersebut sebaiknya
diterima atau ditolak. Jika H0 diterima, maka sama artinya dengan H1
ditolak dan sebaliknya jika H0 ditolak maka H1 diterima.
Dalam melakukan
pengujian hipotesis, ada dua macam kekeliruan yang dapat terjadi, dikenal
dengan nama-nama :
a)
Kekeliruan tipe I : adalah kekeliruan
karena menolak hipotesis (H0) padahal hipotesis tersebut benar.
Kekeliruan ini disebut kekeliruan α..
b) Kekeliruan
tipe II : adalah kekeliruan menerima hipotesis (H0) padahal hipotesis
tersebut salah. Kekeliruan ini disebut β
.
Uji hipotesis atau peraturan
pengambilan keputusan dilakukan dengan baik agar kesalahan pengambilan
keputusan dapat diminimalisir. Cara untuk mengurangi kedua tipe kekeliruan
tersebut adalah dengan memperbesar ukuran sampel, yang mungkin atau tidak
mungkin dilakukan (Spiegel, 1992).
2.2.
Prosedur Dasar Pengujian Hipotesis
Pengujian hipotesis statistik memiliki prosedur yang harus diikuti
tergantung pada hipotesisnya yang distribusi populasi. Prosedur umum yang harus
diikuti tergantung pada hipotesisnya dan distribusi populasi. Prosedur umum
yang harus diikuti dapat dibagi dalam beberapa langkah :
a) Rumuskan dengan baik hipotesis penelitian agar
dapat dihitung statistik sampelnya, seperti rata-rata, seperti :
Pengujian
hipotesis dapat dilakukan terhadap satu populasi untuk pengujian hipotesis
rata-rata dua populasi. Misalnya, rata-rata tekanan darah sapi Ongole sama
dengan tekanan darah sapi Brahman.
H0 :
=
= rata-rata
tekanan darah sapi Ongole
= rata-rata tekanan darah sapi Brahman
Rata-rata
tekana darah sampel sapi Ongole dan sapi Brahman adalah x1 dan x2.
b) Tentukan
derajat kemaknaan α atau kesalahan tipe 1 yang akan digunakan. Penentuan ini
harus dilakukan pada saat perencanaan.
c) Tentukan kesalahan tipe 2 atau β. Biasanya
penentuan ini dilakukan pada saat menghitung besarnya sampel.
d) Tentukan distribusi yang akan digunakan dalam
perhitungan. Tentukan metode statistik yang akan digunakan untuk menghitung
statistik sampel.
e) Tentukan kriteria menerima atau menolak
hipotesis nol pada derajat kemaknaan yang telah ditentukan.
f) Buatlah kesimpulan yang tepat pada populasi
yang bersangkutan.
Ilusrasi 1. Prosedur
Pengujian Hipotesis
2.3. Uji – Z = Pengujian untuk Sampel Besar
Pengujian hipotesa dapat
menggunakan rumus-rumus untuk variabel normal baku (Z) atau t dan sesuai dengan
tingkat nyata yang dipilih (α) dan jenis pengujian yang dipilih (dua sisi, satu
sisi kanan atau satu sisi kiri). Menggunakan (Z) jika datanya berdistribusi
atau mempunyai fungsi normal (data sampel ≥ 30)dan menggunakan uji t jika data
sampel kecil (<30).
Nilai Z
dihitungkan dengan rumus : Z =
Untuk pengujian dua sisi :
Ho diterima, jika –Z α /2 atau Z < Z α /2
Ho ditolak, jika Z > Z α /2 atau Z < -Z α /2
Untuk pengujian sisi kanan :
Ho diterima, jika Z < Z α /2
Ho ditolak, jika Z > Z α /2
Untuk pengujian sisi kiri :
Ho diterima, jika Z
> -Z α /2
Ho
ditolak, jika Z < -Z α /2
2.3.1.
Pengujian
Parameter Rata-rata, Ho: µ=µ0 dimana σ2 Tidak Diketahui
Nilai Z
dihitungkan dengan rumus : Z =
Untuk pengujian dua sisi :
Ho
diterima, jika –Z α /2 atau Z < Z α /2
Ho
ditolak, jika Z > Z α /2 atau Z
< -Z α /2
Untuk pengujian sisi kanan :
Ho
diterima, jika Z < Z α /2
Ho
ditolak, jika Z > Z α /2
Untuk pengujian sisi kiri :
Ho
diterima, jika Z > -Z α /2
Ho
ditolak, jika Z < -Z α /2
Contoh :
Jumlah kunjungan di Peternakan A dan jumlah
kunjungan di Peternakan B mempunyai varian yang sama, yaitu 25 dan akan diuji
apakah terdapat perbedaan. rata-rata jumlah pengunjung di Peternakan A dan
Peternakan B berada pada derajat kemaknaan 0,05. Dari Peternakan A dan
Peternakan B diambil sampel sebesar 50 dan 60 hari kerja hingga diperoleh
rata-rata 62 dan 60 kunjungan.
Jawab :
Hipotesis
statistik: H0 : µ1
= µ2
Ha
:µ1 ≠ µ2
Α = 0,05
Diketahui:
n1 = 50 n2 = 60
= 62
2
= 60
σ12
= 25 σ22= 25
= σ
=
5√1/50 + 1/60 = 0,957
Interval konfidensi: µ1 = µ2
= 0
0 - 1,96 x 0,957 = -1,87
0 + 1,96 x 0,957 = 1,87
H0 akan diterima bila selisih
rata-ratanya terletak antara -1,87 dan +1,87. Selisih sampel 62-60=2
Hipotesis nol ditolak pada α 0,05 atau
p<0,05
Kesimpulannya,
kita 95% percaya bahwa terdapat perbedaan antara rata-rata sampel pada derajat
kemaknaan 0,05 atau p<0,05
Grafik
pengujian hipotesis perbedaan jumlah kunjungan peternakan
Penyelesaian
soal ini dapat dilakukan dengan menghitung nilai Z, seperti berikut:
Z = (
) /
= 62 - 60 / 0,957= 2,09
H0 akan
diterima bila selisih rata-ratanya terletak antara -1,96 dan +1,96 Hipotesis
nol ditolak karena terletak diluar daerah penerimaan pada derajat kemaknaan
0,05 atau p<0,05
Grafik
pengujian hipotesis perbedaan jumlah kunjungan Peternakan
Z = 2,09
2.3.2. Pengujian H0 : µ1 = µ2
Dimana σp2 Diketahui dan σ12 = σ22
Dalam bidang tertentu kita sering dihadapkan dengan masalah yang
membutuhkan penarikan kesimpulan, apakah parameter dua populasi memang berbeda
atau perbedaan yang tampak hanya desebabkan oleh faktor kebetulan. Dalam hal
ini, kita berhadapan dengan perbedaan antara dua populasi. Salah satu macam
pengujian hipotesis perbedaan dua parameter populasi adalah pengujian perbedaan
rata-rata dua pihak dengan sampel besar dimana kesalahan baku kedua populasi
sama dan diketahui. Pengujian hipotesis tersebut bisa dihitung dengan
menggunakan rumus berikut :
Statistik
uji Z =
Dimana
=
Contoh soal :
Dua orang teknisi melakukan observasi secara sendiri-sendiri
mengenai hasil rata-rata per jam dari penggunaan suatu mesin pemotong bulu
domba teknisi (A): 12 obervasi dan memperoleh hasil rata-rata
120 kilogram. Sedangkan teknisi (B): 8 observasi rata-rata 115 kilogram. Pengalaman
menunjukkan bahwa σ2 = 40 kilogram. Apakah kedua teknisi yakin bahwa
beda antara kedua hasil rata-rata tersebut diatas betul-betul nyata, bukan
karena faktor kebetulan?
Jawab :
1.
H0 : µ1= µ2 dan
H1 : µ1 ≠ µ2
2.
α = 0,05
3.
Z =
4.
Daerah kritis
(terima H1) dengan α = 0,05 secara 2 arah
Z > Z
½ α dan Z < - Z ½ α
Z >
1,96 dan Z < - 1,96
5.
Z =
= 1,73358
6.
Karena 1,73358 < 1,96 maka H0
diterima, beda rata-rata hanya disebabkan faktor kebetulan dan tidak nyata
serta µ1= µ2.
2.4.
Uji-t
Pengujian untuk Sampel Kecil
Uji beda dua mean dapat
dilakukan dengan menggunakan uji Z atau uji T. Uji Z dapat digunakan bila
standar deviasi populasi (σ) diketahui dan jumlah sample besar (lebih dari 30).
Apabila kedua syarat tersebut tidak terpenuhi, maka di lakukan uji T. Pada
umumnya nilai σ sulit diketahui, sehingga uji beda dua mean biasanya
menggunakan Uji T (T - Test). Untuk varian yang sama, bentuk ujinya adalah
sebagai berikut.
X1 – X2
T =
Sp
(1/n1) +
(1/n2
(n1-1) S12
+ (n2-1) S22
SP2 =
n1 + n2 - 2
df = n1 + n2
– 2
Keterangan :
N1 atau n2 = jumlah
sampel kelompok 1 atau 2
S1
atau S2 = standar deviasi sampel kelompok 1 dan 2
2.4.1. Pengujian H0 : µ = µ0 Dimana
σ2 Tidak Diketahui
Contoh :
Nilai rata-rata ujian statistika di Fakultas Peternakan tahun lalu
adalah 76 dan tahun ini diperkirakan nilai rata-rata tersebut akan sama dengan
tahun lalu (Ho). Setelah selesai ujian tahun ini, diambil 40
mahasiswa sebagai sampel dan nilai rata-rata = 73 dengan simpangan baku (S) =
6. Dengan menggunakan α = 5%, apakah Ho diterima atau ditolak?
Jawab: Ho
: Nilai rata-rata ujian statistika
= μ = 76
H1 : Nilai rata-rata ujian statistika = μ ≠ 76
Dipergunakan
pengujian dua sisi.
Ho diterima, jika –Z α /2
< Z < Z α /2
Ho ditolak, jika Z > Z α /2 atau Z < -Z α /2
Untuk α
= 5%, nilai Z α /2 = 1,96 (lihat table luas kurva normal, angka 95%/2 atau
0,4750 ada pada koordinat 1,9 dan 0,06 atau 1,96)
Data
dari sapel seperti tersebut diperoleh:
Z =
=
=
= -3,16
Oleh
karena itu –Z α /2 ( -1,96) < Z ( -3,16)
Z α /2 (1,96), maka kesimpulannya Ho diterima. Atau, dengan
kata lain, nilai ujian rata-rata statistika tahun ini sama dengan tahun lalu.
2.4.2.
Pengujian Ho : µ1 = µ2 atau µ1 - µ2 = 0, Jika σ2 tidak diketahui dan σ 12 = σ 22
Apabila simpangan baku tidak diketahui dan sampelnya kecil maka
digunakan distribusi t (Budiarto, 2002). Statistik t dirumuskan sebagai berikut
:
t = (X1- X2)
Sp √1 / n1 + 1/n2
Simpangan
baku biasanya ditaksir dari simpangan baku sampel, tetapi karena tidak
diketahui, maka harus dihitung dahulu simpangan baku gabungannya (Budiarto,
2002). Rumusnya adalah sebagai berikut :
Sp2 = (n1-1)S12
+ (n2-1)S22
n1 + n2 – 2
Keterangan
:
n1
atau n2 = jumlah sampel kelompok 1 atau 2
S1
atau S2 = standar deviasi sampel kelompok 1 atau 2
Statistik uji – t memiliki distribusi t dengan derjat bebas (n1 + n2 - 2). Daerah
kritis (menerima H1) pengujian untuk populasi tak terbatas :
(X1 – X2)
> t (1/2 α : n1 + n2
– 2) dan (X1 – X2) < - t (1/2 α : n1 + n2 –
2)
Sp/ √1/n1
+ 1/n2
Sp/ √1/n1 + 1/n2
Contoh :
Dua
macam obat penambah bobot badan diberikan pada unggas untuk jangka waktu 3
bulan. Obat 1 diberikan pada 10 unggas, sedangkan obat kedua diberikan kepada 9
unggas. Ingin diuji apakah terdapat perbedaan dalam sistem kerja pada kedua
macam obat tersebut dengan derajat kemaknaan 0,05.
Obat
ke-1 dapat menambah produksi daging 9,6 kg dan obat ke-2 menambah produksi
daging 10 kg.
Diketahui :
X1 =
9,6 kg X2 = 10 kg
S12
= 16 S22
= 9
n1 =
10 n2 = 9
Hipotesis
statistik:
H0
: µ1 = µ2
Ha
: µ1 ≠µ2
α = 0,05
dk = 17
Ditanyakan
:
Apakah
terdapat perbedaan antara keduanya?
Penyelesaian :
Sp2 = (n1-1)S12 + (n2-1)S22
n1
+ n2 – 2
Sp2
= (10-11) 6 + (9-1) 9 = 12,7
17
S = 3,56
S (X1-X2) = S√1/n1
+1/n2
=3,56√1/10+1/9 =
1,636
t =
(X1- X2)
Sp
√1 / n1 + 1/n2
= (9,6- 10)
1,64
= -
0,244
t, dk 17 = 2,11
H0 akan diterima apabila hasil
perhitungan “t” terletak antara -2,11 & + 2,11. Kesimpulannya H0
diterima pada α 0,05atau p > 0,05 atau tidak terdapat perbedaan antara 2
macam obat penambah bobot badan tersebut.
2.4.3. Pengujian Ho : µ1
= µ2 atau µ1 - µ2 = 0, Jika σ2 tidak diketahui dan
σ 12 ≠ σ 22
Statistik t dirumuskan sebagai berikut :
t = (X1- X2) - (µ1
- µ2)
√S12 / n1 + S22/n2
db = (S12/n1) + (S2 / n2)2
(S12/
n1)2 + (S22 / n2)2
n1 + 1 n2+2
Bila
populasi berdistribusi normal atau mendekati normal maka varian populasinya
dapat ditaksir dari varian sampel. Rumus “t” tidak dapat langsung digunakan
karena hanya ini merupakan pendekatan saja, tetapi t ½ α harus dihitung dahulu
menggunakan rumus berikut :
t0,05
= t1 (S12 / n1) + t2 (S22
/ n2)
S12 / n1 + S22
/ n2
t’
= w1t1 +
w2t2
w1 + w2
dimana: w1 = S12
/ n1 t1
= t (1/2 α; n1 – 1)
w2
= S22 / n2 t2
= t (1/2 α; n2 – 1)
sehingga kriteria test untuk uji 2 arah :
- w1t1 + w2t2 < t < w1t1
+ w2t2
w1
+ w2 w1 + w2
Contoh :
Sepuluh ayam
broiler yang diare diberi kloramfenikol 3 x 500 mg per hari dengan kesembuhan
rata-rata 7 hari dengan deviasi standar 1,5 hari. Lima ayam broiler yang diare
diberi tetrasiklin 3 x 500 mg dengan rata-rata kesembuhan 6 hari dengan deviasi
standar 1,5 hari.
Jika
ingin diuji apakah terdapat perbedaan antara efek kloramfenikol dan tetrasiklin
terhadap penyakit diare pada derajat kemaknaan 0.05 maka bagaimanakah hasilnya
?
Diketahui:
n1 = 10 n2 = 15
S1 = 2 S2= 1,5
dk = 9 dk
= 14
H0 : µ1 = µ2
Ha : µ1 ≠µ2
α = 0,05
t = 7-6 = 1,35
√4/10 + 2,25/15
t dk 9 = 2,262
t dk 14 = 2,145
t0,05 = (2,62 x 4/10 + 2,145 x
2,25/15) / (4/10 +2,25/15)
= 2,23
Ternyata, t < t0,05. Jadi,
hipotesis diterima pada derajat kemaknaan 0,05. Kesimpulannya, tidak ada
perbedaan antara kloramfenikol dan tetrasiklin dalam pengobatan diare pada ayam
broiler.
BAB III
KESIMPULAN
Hipotesis adalah perumusan sementara
mengenai sesuatu hal yang dibuat untuk menjelaskan hal itu dan untuk menuntun
atau mengarahkan penyelidikan selanjutnya. Dalam melakukan hipotesis, ada dua
macam kekeliruan yang dapat terjadi, dikenal dengan nama-nama, yaitu kekeliruan
tipe I adalah menlolak hipotesis yang seharusnya diterima dan kekeliruan tipe
II adalah menerima hipotesis yang seharusnya ditolak. Prosedur pengujian
hipotesis, yaitu merumuskan hipotes, menentukan taraf nyata, menentukan uji
statistik, menentukan daerah keputusan dan mengambil keputusan, sehingga kita
dapat menarik kesimpulan sesuai dengan prosedur hipotesis.
DAFTAR
PUSTAKA
Budiarto, E. 2002. Biostatistika untuk Kedokteran dan Kesehatan Masyarakat. Jakarta:
Penerbit Buku Kedokteran EGC.
Chandra, B. 2009. Biostatik Untuk Kedokteran dan Kesehatan. Jakarta: Penerbit Buku
Kedokteran.
Dajan, A. 1991. Pengantar Metode Statistik Jilid II.
Jakarta: Lembaga Penelitian, Pendidikan dan Penerangan Ekonomi dan Sosial.
Kuswadi dan E. Mutiara. 2004.
Statistik Berbasis Komputer untuk
Orang-Orang Non Statistik. Jakarta: PT Elex Media Komputindo.
Spiegel, M. R. 1992. Statistik Versi SI (Metrik). Jakarta:
Penerbit Erlangga. Diterjemahkan oleh I Nyoman Susila dan Ellen Gunawan.
Langganan:
Postingan (Atom)